miércoles, 26 de noviembre de 2014

Conjetura débil de Goldbach: suma de números primos

El matemático, que trabaja para el Instituto Francés de Investigación Científica ( CNRS ), ha publicado dos trabajos en los que resuelve el problema: la conjetura débil de Goldbach, con una demostración de 133 páginas. Con solo 12 años ya iba a la Universidad, estudiando más tarde en Princeton y Yale, EE UU. Ahora, además de trabajar en Francia, da clases y charlas en su país, Perú, queriendo dar ejemplo a las generaciones futuras.
Helfgott trabaja en lo que se conoce como Matemática Discreta, que estudia los números y su distribución.
La semana de las matemáticas e 2013 ha sido noticia porque se ha resuelto un problema propuesto hace más de 270 años. Un problema sencillo de enunciar, pero muy difícil de demostrar. ¿Qué problema se ha resuelto? En 1742, el matemático Christian Goldbach le preguntó por carta a su amigo y famoso matemático Leonhard Euler si podía demostrar dos resultados muy sencillos sobre números. Por un lado, lo que hoy en día llamamos la conjetura de Goldbach, o conjetura fuerte de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 16 = 3 + 13, etc. Y por otro lado, una variante de este problema que hoy en día llamamos la conjetura débil de Goldbach, que afirma que todo todo número impar mayor que 5 puede escribir como suma de tres números primos. Por ejemplo, 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 35 = 19 + 13 + 3, o 77 = 53 + 13 + 11, etc. El matemático peruano Harald Andrés Helfgott ha publicado un trabajo en el que afirma haber demostrado la conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach). Por supuesto, en estas noticias de matemáticas tenemos que ser cautos. La demostración ocupa 133 páginas y se basa en un trabajo previo de más de 100 páginas. La confirmación “oficial” todavía podría tardar un tiempo, pero varios expertos, como el famoso Terence Tao, que recibió la medalla Fields en el año 2006 en Madrid, afirman que la nueva demostración tiene muy buena pinta y casi seguro que es correcta.
Este resultado matemático es muy fácil de enunciar. ¿Por qué ha costado 271 años demostrar esta conjetura? Muchos problemas matemáticos quedan sin resolver durante siglos. Incluso los griegos se plantearon preguntas que no fueron resueltas hasta el siglo XIX. Esto pasa con muchos resultados en la rama de las matemáticas llamada teoría de números. Son tan fáciles de enunciar que hasta un niño puede entenderlos, pero son extremadamente duros de demostrar. Los números primos son los números mayores que la unidad que no se pueden dividir por ningún otro número, salvo por ellos mismos y por el uno. Por ejemplo, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. Lo importante de los números primos es que todos los demás números, llamados compuestos, se pueden descomponer en un producto de números primos. Por ejemplo, 12 es 3 por 2 por 2, o 33 es 3 por 11. Por ello, el estudio de los números primos es muy importante en la teoría de números, la rama de las matemáticas que comprende el estudio de los números enteros. Estudiar las propiedades de los números primos en multiplicaciones y divisiones es fácil, sin embargo, las propiedades de las sumas y restas de números primos son muy difíciles de estudiar. Las conjeturas de Goldbach nos hablan de la suma de números primos y por eso están entre los problemas más difíciles de la matemática actual. La demostración de la conjetura débil de Goldbach ha costado 271 años, pero para la conjetura fuerte no ha habido ningún progreso en el último siglo y es posible que no sea demostrada en el siglo XXI.


Matemática  y la Vida Cotidiana.


La relación entre las matemáticas y los secretos más profundos del Universo es un tema en mi opinión apasionante y creo que es una de las principales cuestiones pendientes de la ciencia. Cuando se habla de física se da por supuesto que las matemáticas son una simple herramienta de cálculo, sin embargo, en la física moderna, la física del modelo estándar, de la cuántica, la RG y las cuerdas se ha demostrado que entre ambas existe una profunda relación y que están inextricablemente ligadas. El Universo funciona siguiendo profundas leyes de simetría y ciertas leyes fundamentales, las matemáticas captan estas leyes, de alguna forma son un reflejo de ellas ya que son capaces de captar a través de un conjunto de normas lógicas la coherencia interna de ese “esqueleto” de leyes fundamentales en el que se basa el funcionamiento del Universo. Sin embargo las matemáticas captan de alguna forma todos los “mundos potencialmente posibles” o con unas leyes que potencialmente tienen una coherencia interna, y ahi es donde necesitamos a la física, para seleccionar a través del experimento que parte de las matemáticas reflejan realmente el mundo en el que vivimos. Los avances en matemáticas pueden ser de un valor incalculable en cuanto nos permiten seguir “radiografiando” ese esqueleto que sostiene la coherencia interna de la naturaleza aunque a veces la radiografía se interne en esa parte del esqueleto que no ha sido elegida por la naturaleza.
Por ejemplo algunos pensaban que la resolución de la conjetura de Poincaré podría revelarnos la forma real de nuestro Universo, aunque luego se observó que vivimos en un Universo prácticamente plano. Muchos piensan que la resolución del problema matemático más complejo de todos los tiempos, la hipótesis de Riemann puede abrirnos la puerta a la resolución de muchos de los misterios más grandes de la Física debido a que parece que podría haber una profunda conexión entre la función Zeta y las leyes probabilísticas de la mecánica cuántica y otros sistemas físicos. Por otro lado, algunas propiedades cuánticas de las partículas como el spin parecen residir en espacios matemáticos abstractos que quizás podrían corresponder realmente a dimensiones ocultas del espacio lo que podría explicar esta profunda conexión entre Física y Matemáticas.
Por cierto, para los que quieran iniciarse en este apasionante tema recomiendo el libro: “La música de los números primos” de Marcus du Saoutoy.

En resumen, Matemáticas y Física se necesitan mutuamente para poder avanzar en el camino de explicar las leyes que rigen la naturaleza, esperemos que pronto experimentos como el LHC, el satélite Planck o los experimentos de detección de DM nos aporten los datos experimentales necesarios para elegir entre todos los “marcos matemáticos” disponibles (Susy, Guts, Strings, M-Theory, Hidden Dimensions, etc).

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